Ruchy jednostajny prostoliniowy i jednostajnie przyspieszony prostoliniowy w zadaniach

• definicja ruchu jako zmiana położenia względem wybranego układu odniesienia,

• klasyfikacja ruchów ze względu na tor (prostoliniowe i krzywoliniowe) oraz wartość prędkości (jednostajne i zmienne),

• jak odróżniać prędkość średnią od chwilowej,

• jak obliczać prędkość i wyrażać ją w różnych jednostkach,

• definicje przyspieszenia oraz ruchu przyspieszonego i opóźnionego,

• jak obliczać przyspieszenie, gdy wartość prędkości rośnie lub maleje,

• jak obliczać zmiany prędkości podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego,

• jak obliczać drogę przebytą przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym,

• jak sporządzać wykresy zależności drogi od czasu, przyspieszenia od czasu i prędkości od czasu dla ciał poruszających się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym,

• jak odczytywać z wykresów wartość drogi, przyspieszenia i prędkości.

Motocyklista przez jedną minutę poruszał się z prędkością $72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Na widok czerwonego światła rozpoczął hamowanie. Od momentu rozpoczęcia hamowania do chwili, w której się motocyklista zatrzymał, minęło $10 \mathrm{s}$. Oblicz przyspieszenie motocyklisty podczas hamowania. Sporządź wykres zależności prędkości od czasu. Oblicz drogę przebytą przez motocyklistę.

Rozwiązanie:

Analiza zadania:
Zjawisko: ruch jednostajny (przez minutę) i jednostajnie opóźniony (przez $10$ sekund).
Zależność przebytej drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym: $s=v·t$.
Wzór na przyspieszenie: $a=\frac{∆v}{∆t}$.
Zależność przebytej drogi od czasu i przyspieszenia, oraz prędkości początkowej,  w ruchu jednostajnie opóźnionym: $s=v_{\mathrm{o}}·t-\frac{a\cdot t^2}{2}$.
Wartość prędkości w ruchu jednostajnym jest jednocześnie wartością prędkości początkowej, gdy ruch staje się opóźniony: $v=v_o$.
$a=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_k-v_0}{t_2}$.
$S=s_1+s_2$ (suma dróg przebytych ruchem jednostajnym i jednostajnie opóźnionym).
$s_1=v_1·t_1$,
$s_2=v_{\mathrm{o}}·t_2-\frac{a·t_2^2}{2}$.

Dane:
$v_1=72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$
$v_1=v_o=72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$
$v_k=0$
$t_1=1 \min =60 \mathrm{s}$
$t_2=10 \mathrm{s}$.

Szukane:
$a=?$
$S=?$

Obliczenia:
$v_o=72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=72·\frac{1000 \mathrm{m}}{3600 \mathrm{s}}=72·\frac{10}{36}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2·10 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
$v_k=0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

RCD5Jhx4VsxqT

Schemat przedstawia wykres ruchu złożonego. Tło białe. Na osi odciętych odłożony czas w sekundach, od 0 do 75, co 5 jednostek. Na osi rzędnych odłożona prędkość w metrach na sekundę, od 0 do 20, co 5 jednostek. Wykres składa się z dwóch niebieskich odcinków. Pierwszy ma początek w punkcie (0; 20) i koniec w punkcie (60; 20). Drugi ma początek w punkcie (60; 20) i koniec w punkcie (70; 0).

$∆v=v_k-v_o=\left(0-20\right) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
$t_2=∆t=10 \mathrm{s}$,
$a=\frac{∆v}{∆t}=\frac{-20}{10}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=-2 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$,
$s_1=v_1·t_1=20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}·60 \mathrm{s}=1200 \mathrm{m}$,
$s_2=v_o·t_2-\frac{a·{t_2}^2}{2}$,
$s_2=20 \frac{\text{m}}{\text{s}}·10 \text{s}-\frac{1}{2}·2 \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}·100 {\text{s}}^2=200 \text{m}-100 \text{m}=100 \text{m}$.

Na wykresie sporządzonym w celu zilustrowania ruchu motocyklisty, droga przebyta ruchem opóźnionym jest równa polu trójkąta, którego podstawa $t_2=10 \mathrm{s}$, a wysokość: $v_o=20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Z tego wynika, że pole, czyli droga, ma wartość $100 \mathrm{m}$.

Jeżeli popatrzysz dokładnie na wykres, to zauważysz, że wysokość trójkąta to tak naprawdę zmiana prędkości $∆v=a·t_2$. Przekształcając wzór na pole trójkąta, otrzymasz: $S=\frac{1}{2}a·t_2·t_2=\frac{1}{2}a{t}^2$, a zatem taką samą zależność drogi od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego oraz dla ruchu opóźnionego (w którym końcowa prędkość jest równa zero).

Odpowiedź:

Motocyklista hamował z przyspieszeniem $-2 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$, a całkowita droga, którą przebył, wynosiła $1300 \mathrm{m}$.

Na wykresie przedstawiono zależność prędkości od czasu. Jakim ruchem poruszało się ciało?

RKp2Th2H7Wwvu

Schemat przedstawia wykres zależności prędkości od czasu. Tło białe. Na osi odciętych odłożony czas w sekundach, od 0 do 110, co 10 jednostek. Na osi rzędnych odłożona prędkość w metrach na sekundę, od 0 do 12, co 2 jednostki. Wykres składa się z trzech czerwonych odcinków. Pierwszy ma początek w punkcie A (0; 0) i koniec w punkcie B (30; 8). Drugi ma początek w punkcie B (30; 8) i koniec w punkcie C (50; 8). Trzeci ma początek w punkcie C (50; 8) i koniec w punkcie D (100; 12).

Zastanówmy się teraz, czym różni się ruch w przedziałach czasu $AB$, $BC$ i $CD$.

W pierwszym przedziale prędkość rośnie liniowo wraz z czasem. Oznacza to, że ten ruch jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Jeśli do wzoru na przyspieszenie podstawimy dane odczytane na podstawie współrzędnych punktu $B$, obliczymy wartość przyspieszenia. Uzyskamy wtedy wynik ok. $0,27 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Kolejny przedział $BC$ wykazuje brak zmian prędkości. Oznacza to, że ciało poruszało się ruchem jednostajnym, a przyspieszenie ciała w tym przedziale wynosiło $0\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Ostatni przedział $CD$, podobnie jak $AB$, jest ruchem przyspieszonym. Przyspieszenie w tym ruchu wynosi:

gdzie: $v_k$ – prędkość w punkcie $D$; $v_p$ – prędkość w punkcie $C$; $t_k$ – czas odpowiadający punktowi $D$; $t_p$ – czas odpowiadający punktowi $C$.

Po wstawieniu do wzoru otrzymujemy rozwiązanie: $a=0,08 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Na podstawie analizy ruchu jednostajnie przyspieszonego lub jednostajnie opóźnionego obliczaliśmy przebytą drogę w sytuacjach, w których albo ciało ruszało z punktu startu (czyli prędkość początkowa wynosiła zero), albo zatrzymywało się na końcu ruchu opóźnionego (czyli prędkość końcowa wynosiła zero). Samochód (tak jak w jednym z powyższych przykładów) może jednak poruszać się ze stałą prędkością, a następnie zwalniać. Może być też tak, że prędkość początkowa pojazdu jest różna od zera i pojazd ten przyspiesza. Jak wtedy obliczymy przebytą drogę? Poniżej widzisz dwa wykresy odpowiadające opisanym sytuacjom. Podane wzory pozwalają obliczyć pola powierzchni. Można skorzystać też z definicji przyspieszenia $a=\frac{v_k-v_p}{t}$.

Rd3To5Q6b7tEw

Schemat przedstawia dwa układy współrzędnych. W każdym narysowany został wykres zależności prędkości od czasu wraz ze wzorami na drogę. Tło białe. Na osiach odciętych odłożony czas t. Na osiach rzędnych odłożona prędkość v. Pierwszy wykres jest liniowy rosnący. Zaczyna się w punkcie (0; v z indeksem dolnym zero) a kończy w punkcie (t; v z indeksem dolnym k). Pole pod wyresem składa się z dwóch części: niebieskiego prostokąta i czerwonego trójkąta prostokątnego. Lewy dolny wierzchołek prostokąta znajduje się w punkcie (0;0), prawy górny wierzchołek prostokąta znajduje się w punkcie (t; v z indeksem dolnym zero). W prostokącie napis S z indeksem dolnym jeden równa się v z indeksem dolnym zero razy t. Podstawa czerwonego trójkąta pokrywa się z górną podstawą prostokąta. Trzeci wierzchołek ma w punkcie (t; v z indeksem dolnym k). W trójkącie napis S z indeksem dolnym dwa równa się jedna druga razy t razy w nawiasie v z indeksem dolnym k minus v z indeksem dolnym zero zamknąć nawias. Drugi wykres jest liniowy malejący. Zaczyna się w punkcie (0; v z indeksem dolnym zero) a kończy w punkcie (t; v z indeksem dolnym k). Pole pod wykresem ma kształt trapeza prostokątnego. Trapez jest niebieski. Jego wierzchołki znajdują się w punktach: wierzchołek lewy dolny w punkcie (0; 0), wierzchołek prawy dolny w punkcie (t; 0), wierzchołek prawy górny w punkcie (t; v z indeksem dolnym k), wierzchołek lewy górny w punkcie (0; v z indeksem dolnym zero). W trapezie zapis: S z indeksem dolnym jeden równa się v z indeksem dolnym zero razy t. Z górnym bokiem trapezu pokrywa się przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Trzeci wierzchołek prostokąta znajduje się w punkcie (t; v z indeksem dolnym zero). W trójkącie napis S z indeksem dolnym dwa równa się jedna druga razy t razy w nawiasie v z indeksem dolnym k minus v z indeksem dolnym zero zamknąć nawias. Nad całością napis: S całkowite równa się S z indeksem dolnym jeden minus S z indeksem dolnym dwa.