Przeczytaj
Wielościan wypukły
Wielościanem nazywamy bryłę, której wszystkie ściany są wielokątami i spełnione są warunki:
Każde dwie ściany mają wspólną krawędź, wierzchołek lub nie mają części wspólnej.
Każda krawędź jest wspólna dla dokładnie dwóch ścian.
Każdy wierzchołek jest wspólny dla co najmniej trzech ścian.
Wielościan nazywamy wypukłym, gdy w całości leży po jednej ze stron płaszczyzn wyznaczonych przez każdą ze ścian.
Ocenimy, czy wielościany poniżej są wypukłe.
a)
Nie jest to wielościan wypukły.
b)
Jest to wielościan wypukływielościan wypukły.
Z przykładu powyżej wynika, że nie każdy graniastosłup jest wielościanem wypukłym.
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w wielościanach
Oznaczmy przez – liczbę wierzchołków, przez – liczbę ścian i przez – liczbę krawędzi wielościanu.
Pokażemy, że liczby , i nie są przypisane do jednego konkretnego wielościanu.
Rozwiązanie
Rozważymy sześcian i ostrosłup ścięty czworokątny.
Dla obu tych brył mamy , i .
Zastanówmy się jakimi liczbami mogą być , i .
Pokażemy, że liczba krawędzi wielościanów może być każdą liczbą parzystą nie mniejszą od .
Rozwiązanie
Jeżeli wielościanwielościan składa się z samych trójkątów, to najmniejsza liczba krawędzi jaką możemy otrzymać to (w przypadku ostrosłupa trójkątnego) i to jest najmniejsza liczba krawędzi, jaka może być. Dla każdej liczby parzystej od wzwyż mamy taki wielościan – jest to np. ostrosłup –kątny.
Pokażemy, że liczba krawędzi wielościanu może być każdą liczbą nieparzystą nie mniejszą od .
Rozwiązanie
W poprzednim przykładzie wykazaliśmy, że każda liczba parzysta większa od może być liczbą krawędzi wielościanu. Powiedzieliśmy, że przykładem wielościanu o parzystej liczbie krawędzi jest ostrosłup.
Weźmy więc ostrosłup z odciętym jednym z wierzchołków przy podstawie.
Ostrosłup ze ściętym wierzchołkiem przy podstawie będzie miał o krawędzie więcej niż miałby ostrosłup. Dla ostrosłupa trójkątnego po ścięciu wierzchołka będziemy mieć krawędzi.
Dla czworokątnego będzie to krawędzi itd. A zatem będziemy mieć wielościan o liczbie krawędzi będącej każdą liczbą nieparzystą większą lub równą .
i
Wiemy, że trzy punkty w przestrzeni wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę. A zatem, żeby powstał wielościanwielościan , a z tego wynika, że również .
Jest tak, ponieważ każda krawędź jest wspólna dla dwóch ścian, a ściany są wielokątami (czyli należą do nich co najmniej trzy krawędzie).
Jest tak, ponieważ każda krawędź łączy dwa wierzchołki, a z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej trzy krawędzie.
Twierdzenie Eulera
Twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych określa zależność pomiędzy liczbą ścian, krawędzi i wierzchołków wielościanu wypukłego.
Niech będzie dany wielościan wypukły. Wówczas:
Dowód twierdzenia Eulera opiera się o analizę diagramu Schlegela.
Wniosek:
Z uwagi powyżej mamy, że , czyli .
A zatem z twierdzenia Eulera dla wielościanów wypukłych mamy .
A stąd . Analogicznie .
Sprawdzimy, czy wielościan wypukływielościan wypukły może mieć krawędzi.
Rozwiązanie
Mamy , a to oznacza z twierdzenia Eulera, że . Mamy i .
Możemy mieć więc:
i lub
i .
Jedynym wielościanem wypukłym, który ma wierzchołki lub krawędzie jest ostrosłup trójkątny, ale wtedy liczba drugiego typu elementów nie może wynosić .
A zatem wielościan wypukły nie może mieć krawędzi.
Żaden wielościan nie ma siedmiu krawędzi. Liczba krawędzi wielościanu może wynosić (w przypadku ostrosłupa trójkątnego) lub być dowolną liczbą całkowitą większą od .
Uwaga:
Dla niektórych wielościanów, które nie są wypukłe wzór Eulera również zadziała.
Rozważymy graniastosłup przedstawiony na rysunku. Sprawdzimy, czy zachodzi dla niego twierdzenie Eulera.
Rozwiązanie
Dla tego wielościanu mamy , , .
Zauważmy, że .
Rozważymy wielościanwielościan powstały przez sklejenie krawędzią dwóch ostrosłupów czworokątnych. Sprawdzimy, czy zachodzi dla niego twierdzenie Eulera.
Rozwiązanie
Mamy , , .
Zauważmy, że .
Twierdzenie Eulera, a graniastosłupy
Wiemy, że nie każdy graniastosłup jest wielościanem wypukłym. Nie możemy więc bezpośrednio korzystać z twierdzenia Eulera.
Rozważymy graniastosłup o podstawie –kąta.
Taki graniastosłup będzie miał po wierzchołków w każdej podstawie, czyli .
Będzie miał –krawędzi w każdej podstawie i krawędzi bocznych, czyli .
Będzie miał ścian bocznych i dwie ściany, które są podstawami, czyli .
Zauważmy, że .
Wniosek:
Każdy graniastosłup spełnia wzór Eulera.
Słownik
bryła, której wszystkie ściany są wielokątami spełniającymi warunki: każde dwie ściany mają wspólną krawędź, wierzchołek lub nie mają części wspólnej, każda krawędź jest wspólna dla dokładnie dwóch ścian, każdy wierzchołek jest wspólny dla co najmniej trzech krawędzi
wielościan, który w całości znajduje się po jednej stronie każdej płaszczyzny wyznaczonej przez jedną z jego ścian