Zrozumieć sinusoidę

Skąd bierze się sinusoida? Dlaczego ma taki kształt? Czym jest funkcja sinus? Jak narysować sinusoidę? Poznaj absolutne podstawy fali sinusoidalnej!

Trygonometria

Funkcje takie jak sinus, cosinus czy tangens kojarzymy głównie ze szkolnymi zajęciami z trygonometrii – niezbyt porywającego działu matematyki zajmującego się kątami i trójkątami. Trygonometrii trzeba jednak oddać to, że bez niej dziedziny takie jak kartografia, astronomia czy elektrotechnika nie mogłyby istnieć.

Bardzo często wystarczy coś zobaczyć, by to zrozumieć. Niestety ujrzenie sinusów i cosinusów na co dzień nie jest proste, mimo że otaczają nas one dosłownie z każdej strony. W każdej sekundzie przenikają one Twoje ciało w postaci przeróżnych fal elektromagnetycznych (choćby radiowych).

Warto pochylić się nad istotą tego niewidocznego oceanu fal sinusoidalnych i sprawdzić skąd wziął się ich kształt oraz jak powstaje. Nie będę przy tym zagłębiał się we wzory i równania, które każdy może znaleźć w Internecie, czy szkolnym podręczniku. Zamiast tego trochę Ci o sinusoidzie poopowiadam, a czego nie dopowiem, pokaże na różnych obrazkach i animacjach. Zaczynamy!

Czym jest sinusoida?

Sinusoida to inaczej wykres funkcji sinus. O tym co to jest funkcja sinus powiem za chwilę. Teraz skupmy się na słowie wykres. Pewnie nie raz widziałeś przeróżne wykresy – słupkowe, kołowe, liniowe. Wykres to po prostu zbiór punktów, albo jakaś linia obrazująca pewien kształt. Wykres funkcji sinus przypomina pod tym względem płynącą falę. Nie jest to jednak ,,jakaś tam fala”, a bardzo konkretny kształt, który ze względu na swoją wyjątkowość otrzymał niepowtarzalną nazwę: sinusoida. Jak ten kształt wygląda i skąd się wziął? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy zacząć poruszać się… w kółko.

Powyższa animacja dowodzi, że sinusoida jest w jakiś sposób powiązana z okręgiem. Ale to nie tak, że możemy sobie narysować okrąg na kartce, pociąć go na wiele małych kawałeczków i ułożyć z nich taką falę. Taka operacja nie zadziała, bo sinusoida to kształt powiązany nie z kształtem okręgu, a z ruchem po okręgu.

Sztuka krążenia

Zacznijmy od samego okręgu. Narysowanie go wydaje się mało skomplikowane, prawda? Jasne, ale żeby narysować go w pełni poprawnie trzeba trzymać się kilku twardych zasad:

1. Ustal środek okręgu – najlepiej poprzez narysowanie dwóch prostopadłych, przecinających się linii. Punkt przecięcia wyznacza środek.
2. Wybierz wielkość okręgu, czyli jego promień.
3. Przy pomocy cyrkla, ,,zaczep” promień w środku okręgu i obracaj nim dookoła.
4. Jeśli chcesz narysować okrąg jak prawdziwy profesjonalista, to jego obwód musisz zakreślać zwasze w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Oczywiście rysując swoje własne ,,kółka” na kartce nie musisz trzymać się sztywno tych reguł. Nie musisz właściwie trzymać się żadnych reguł – w końcu to Twoja kartka. Moim zdaniem jednak warto, bo rysując okrąg w ten sposób, zachowujemy odwieczną konwencję: Prostopadłe linie dzielą okrąg na 4 równe części zwane ćwiartkami, a ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara wskazuje kierunek, w którym wartość kąta rośnie – od 0, przez 90, 180, aż do 360 stopni. Kto to tak wymyślił? Trudno powiedzieć, ale wszyscy się tego dzisiaj trzymamy i nie ma powodu, by ,,wymyślać koło na nowo”… A skoro już o kątach mówimy, to warto przyjrzeć się im nieco dokładniej.

Łuki i kąty

Ruch po okręgu jest kluczowy w kontekście sinusoidy. Drogę pokonaną przez wirujący po okręgu promień możemy opisać dwojako. Albo poprzez kąt pod jakim jest nachylony, albo poprzez długość łuku jaki do tej pory zakreślił. Jednostką miary kątowej są stopnie, a jednostką miary łukowej nieco mniej znane radiany. Którą jednostką lepiej się posługiwać? Tak naprawdę nie ma to znaczenia bo kąty na radiany (i odwrotnie) da się z łatwością przeliczyć.

Przyznam, że w matematyce bardziej uniwersalną jednostka są radiany. Nam, osobom zainteresowanych elektrotechniką, mimo wszystko bardziej przydadzą się kąty wyrażone w stopniach i to na tej mierze się od teraz skupimy. A skoro sinusoida związana jest z ruchem po okręgu, to czas sprawdzić do czego te całe kąty mogą nam się przydać.

Jak wyznaczyć sinus kąta?

Naszym celem jest narysowanie sinusoidy, która jak wspomniałem jest wykresem funkcji sinus. Funkcja sinus to pewien wzór, który na podstawie informacji o promieniu i kącie wyrzuca jakąś liczbę. O ile promień dookoła danego okręgu jest wszędzie taki sam, o tyle kąt pod jakim jest nachylony może się zmieniać, a to sprawia, że funkcja sinus może wyrzucić cały przekrój różnych liczb. Mógłbym oczywiście podać ci po prostu wzór funkcji sinus i zakończyć ten wątek, ale chyba znacznie ciekawiej będzie, jeśli ci tego sinusa pokażę. Oto on:

Załóżmy, że promień podróżujący po okręgu osiągnął kąt nachylenia równy 30°. Co robi funkcja sinus? Jej rolą jest wyznaczenie wysokości jaką owy promień osiągnął. To ta gruba, niebieska kreska, która jak widać kończy się w połowie maksymalnej wysokości. Wysokość okręgu jest oczywiście dokładnie taka jak promień, stąd możemy powiedzieć, że funkcja sin(30°) wynosi dokładnie 1/2 promienia. Im większy okrąg, tym jest to oczywiście większa liczba, co widać na poniższej grafice:

A jak zachowuje się funkcja sinus dla innych kątów? Na przykład dla kąta 60° osiąga ona wartość około 0,87 promienia. Dalej robi się ciekawie, bo docieramy do kąta 90° – punktu o maksymalnej wysokości gdzie wartość funkcji sinus równa jest pełnej długości promienia. Przechodząc do drugiej ćwiartki okręgu kąt rośnie dalej, ale promień zaczyna opadać przez co wartości zaczynają się powtarzać – sinus kąta 120° jest taki sam jak 60°, kąta 150° taki sam jak 30° itd.

Mijając kąt 180° docieramy do trzeciej ćwiartki. Tutaj wartości spadają poniżej punktu początkowego, po matematycznemu powiedzielibyśmy ,,poniżej zera”. Tutaj punktem o maksymalnej, ujemnej wysokości jest kąt 270° – tam sinus ponownie osiąga wartość promienia, z tym że ze znakiem minus. Dalej, w czwartej ćwiartce ponownie wracamy do punktu zerowego – sinus kątów 0° i 360° jest taki sam i wynosi 0.

Gdybyśmy tak krążyli po okręgu bez końca i przez cały czas śledzili wartość funkcji sinus, to oczom naszym ukazałby się charakterystyczny, falujący kształt.

Funkcja sinus w ruchu wygląda całkiem fajnie, ale naszym ostatecznym celem jest sporządzenie jej wykresu czyli sinusoidy. Zobaczmy zatem jak to najłatwiej zrobić.

Jak narysować sinusoidę?

Wykresy to z natury statyczne obrazki. Ale w Jaki sposób pokazać ruch po okręgu na nieruchomym rysunku? Jest na to sposób. Sinusoida to wykres mający za zadanie pokazać wartości funkcji sinus dla każdego możliwego kąta – od 0° do 360° . Wystarczy w takim razie obok naszego okręgu narysować nowy układ współrzędnych, na osi poziomej zaznaczyć kolejne kąty, a na koniec po prostu przenieść wszystkie wartości. Procedura wygląda mniej więcej tak:

Widoczna na powyższym rysunku pełna sinusoida to wykres funkcji sinus dla kątów od 0° do 360°. Moglibyśmy co prawda zakreślać kolejne kółka, ale wtedy nie odkrywamy już tak naprawdę niczego nowego, bo kształt sinusoidy się po prostu powtarza. O funkcji która się powtarza mówimy, że jest okresowa, a stały, powtarzalny fragment nazywamy okresem.

Częstotliwość i amplituda sinusoidy

Na sam koniec jeszcze jedna istotna rzecz. Jak mówiłem na początku sinusoida jest swego rodzaju odzwierciedleniem ruchu po okręgu. A skoro jest ruch, to czy prędkość wirowania ma wpływ na sinusoidę? Jak najbardziej! Podstawowym sposobem wyrażenia prędkości w ruchu po okręgu jest tak zwana prędkość kątowa. Tak jak normalną prędkość wyrażamy w metrach na sekundę, tak tę kątową wyrażamy albo w kątach na sekundę [°/s] albo w radianach na sekundę [rad/s], w zależności od tego która jednostka jest nam bliższa. Istnieje jednak jeszcze jeden sposób na wyrażenie prędkości kątowej, wręcz stworzony dla funkcji okresowych. A jest nimczęstotliwość.

Częstotliwość traktować możemy jak liczbę obrotów na sekundę. Pamiętamy, że jeden obrót po okręgu to jeden pełny okres sinusoidy, więc bardziej fachowo będzie powiedzieć, że częstotliwość to liczba okresów na sekundę. Jednostką częstotliwości jest herc [Hz] i jeśli sinusoida faluje z częstotliwością 1 herca, to znaczy że jeden jej okres zajmuje dokładnie sekundę. Dwa razy większa prędkość falowania sprawia, że w jednej sekundzie mieszczą się dwa okresy, a to daje częstotliwość 2 herców.

Oprócz tego, że sinusoida może być ,,zagęszczana” to może ona też być rozciągana w górę i w dół. Maksymalną wartość jaką osiąga sinusoida nazywa się amplitudą. Tym samym Im większy promień okręgu, tym większa amplituda i bardziej ,,rozciągnięta” sinusoida.

I oto cała sinusoida

Mam nadzieję, że przedstawione w artykule przykłady pomogły Ci zrozumieć czym tak naprawdę jest sinusoida, skąd bierze się jej kształt i co na niego wpływa. Jeżeli chcesz pójść dalej tym tropem i dowiedzieć się jak produkuje się prąd w kształcie sinusoidy, to zapraszam do kolejnego artykułu:

Dlaczego prąd jest sinusoidalny? – artykuł na TeoriaElektryki.pl

Jeśli nie chcesz przegapić kolejnych artykułów na temat Teorii Elektryki, to śledź mnie na facebook’u, bądź zapisz się poniżej na newsletter.

---

Dzięki za poświęcony czas!

---

Bibliografia