Funkcje hiperboliczne odwrotne

Wykresy polowych funkcji sinus, cosinus i tangens w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wykresy polowych funkcji cotangens, secans i cosecans w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcje hiperboliczne odwrotne, funkcje polowe, funkcje area, areafunkcje – funkcje odwrotne do hiperbolicznych, definiowane też poniższymi wzorami:

nazwa	symbole	wzory	funkcja odwrotna i przypis
area sinus hiperboliczny	$\operatorname {arsinh} \ x$	$\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$	sinus hiperboliczny
area cosinus hiperboliczny	$\operatorname {arcosh} \ x$	${\begin{aligned}&\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})=\\&\ln(x+{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}})\end{aligned}}$	cosinus hiperboliczny
area tangens hiperboliczny	$\operatorname {artgh} \ x$	${\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$	tangens hiperboliczny
area cotangens hiperboliczny	$\operatorname {arctgh} \ x$	${\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$	cotangens hiperboliczny
area secans hiperboliczny	$\operatorname {arsech} \ x$	${\begin{aligned}&\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}+{\frac {1}{x}}\right)=\\&\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x}}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{x}}+1}}+{\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}$	secans hiperboliczny
area cosecans hiperboliczny	$\operatorname {arcsch} \ x$	$\ln \left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)$	cosecans hiperboliczny

Funkcje polowe czerpią nazwę stąd, że można nimi obliczać pola odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej $x^{2}-y^{2}=1$. Analogicznie funkcje kołowe (cyklometryczne, odwrotne do trygonometrycznych) są równe polom wycinków koła jednostkowego $x^{2}+y^{2}=1.$ Funkcje polowe znajdują też zastosowanie poza geometrią i matematyką czystą, np. w fizyce i elektrotechnice; przykładowo cosinus polowy pojawia się w jednym ze wzorów na pojemność elektryczną.

Opis poszczególnych funkcji polowych

Area sinus

Area sinus hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R} .$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• w punkcie $x=0$ ma punkt przegięcia;
• jest rosnąca na całej dziedzinie;
• nie ma asymptot.

Area cosinus

Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej

Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia. Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa:

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \ x&=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{1}\ x&=\ \ \ \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{2}\ x&=-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}).\end{aligned}}$

Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste, to ich dziedziną jest przedział $[1,\infty ).$ Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.

Area tangens

Area tangens hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty $(-1,1).$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• jest rosnąca;
• ma dwie asymptoty i obie są pionowe: $x=-1,\;x=1.$

Area cotangens

Area cotangens hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych: $(-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).$ Funkcja ta:

• nie ma ekstremów;
• nie ma przegięć;
• ma 3 asymptoty: $y=0,\;x=-1,\;x=1.$

Area secans

Area secans hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(0,1].$ Funkcja ma asymptotę o równaniu $x=0.$

Area cosecans

Area cosecans hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest $\mathbb {R} \setminus \{0\}.$ Funkcja ma dwie asymptoty: $x=0$ i $y=0.$

Pochodne

funkcja polowa $f(x)$	funkcja pochodna $f'(x)$	przypisy
$\operatorname {arsinh} \ x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}=(1+x^{2})^{-1/2}$
$\operatorname {arcosh} _{1}\ x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=(x^{2}-1)^{-1/2}$
$\operatorname {arcosh} _{2}\ x$	${\frac {-1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-(x^{2}-1)^{-1/2}$
$\operatorname {artgh} \ x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1}$
$\operatorname {arctgh} \ x$	${\frac {-1}{1-x^{2}}}=-(1-x^{2})^{-1}$
$\operatorname {arsech} \ x$	${\frac {-1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}$
$\operatorname {arcsch} \ x$	${\frac {-1}{x^{2}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}$

Związki z innymi funkcjami

Całki funkcji algebraicznych

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C\\\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+C\\\int {\sqrt {x^{2}+1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {arsinh} \ x+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\\\int {\sqrt {x^{2}-1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(-\operatorname {arcosh} \ x+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|+C=\\&={\begin{cases}\operatorname {artgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|<1\\\operatorname {arctgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|>1\end{cases}}\end{aligned}}$

Funkcje kołowe

Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej $i$:

${\begin{aligned}\operatorname {ar\ sinh} x&=-i\operatorname {arc\ sin} (ix)\\\operatorname {ar\ cosh} x&=\ \ \ i\operatorname {arc\ cos} x\\\operatorname {ar\ tgh} x&=-i\operatorname {arc\ tg} (ix)\end{aligned}}$

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.
• I.M. Ryżyk, I.S. Gradsztejn: Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.
• Wojciech Żakowski: funkcje odwrotne do hiperbolicznych [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.