Poziomica (matematyka)
Poziomica lub warstwica – zbiór punktów dziedziny funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych, dla których przyjmuje ona tę samą wartość.
Innymi słowy, dla funkcji
jest to zbiór postaci
gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą.
Związek z gradientem edytuj
- Twierdzenie
- Gradient w punkcie jest prostopadły do poziomicy w tym punkcie.
Aby zrozumieć o czym mówi to twierdzenie, wystarczy wyobrazić sobie dwóch wspinaczy będących w tym samym miejscu góry. Jeden z nich jest śmiały i decyduje się iść w kierunku największego nachylenia. Drugi jest ostrożniejszy: nie chce się ani wspinać, ani schodzić – wybierze więc drogę na tej samej wysokości. Wyrażone w tym języku powyższe twierdzenie mówi, że każdy ze wspinaczy wyruszy w kierunku prostopadłym do drugiego.
- Dowód
- Poziomica przechodząca przez to Niech dana będzie krzywa na poziomicy przechodząca przez dla której (przyjęcie tego założenia nie zmniejsza ogólności rozważań). Wówczas
- Różniczkując powyższą równość w za pomocą reguły łańcuchowej, otrzymuje się
- przy czym macierz Jacobiego w punkcie jest w istocie gradientem w tzn.
- Z własności iloczynu skalarnego wynika, że gradient w punkcie jest prostopadły do stycznej do krzywej (a więc i poziomicy) w tym punkcie. Ostatecznie ponieważ krzywa mogła być wybrana dowolnie, to gradient istotnie jest prostopadły do poziomicy.
Konsekwencją tego twierdzenia jest, że jeśli poziomica przecina się (dokładniej, nie jest gładką podrozmaitością, czy hiperpowierzchnią), to wektor gradientu musi być zerowy we wszystkich punktach przecięć. W ten sposób każdy taki punkt jest punktem krytycznym
