Ideał (teoria mnogości)

Ideał – rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

• zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
• zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
• suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

Definicje formalne

Ideały w porządkach

Niech $(P,\leqslant )$ będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór $I\subseteq P$ jest ideałem w zbiorze uporządkowanym $P$, jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $I\neq \varnothing ,$

(ii) jeśli $p,q\in P,$ $p\leqslant q$ oraz $q\in I,$ to również $p\in I,$

(iii) jeśli $p,q\in I,$ to można znaleźć $r\in I$ taki że $p\leqslant r$ oraz $q\leqslant r.$

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $I\neq P.$

Ideały w algebrach Boole’a

Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech $(\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$ będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór $I$ jest ideałem w algebrze Boole’a $\mathbb {B}$, jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $\mathbf {0} \in I,$

(ii) jeśli $a,b\in \mathbb {B} ,$ $a\leqslant b$ (tzn. $a\cdot b=a$) oraz $b\in I,$ to również $a\in I,$

(iii) jeśli $a,b\in I,$ to $a+b\in I.$

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $\mathbf {1} \notin I.$

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioru

Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru $S$ (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru $S.$ Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów $S$.

Niech $S$ będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina $I$ podzbiorów zbioru $S$ jest ideałem podzbiorów zbioru $S$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $\varnothing \in I,$

(ii) jeśli $A\subseteq B\subseteq S$ i $B\in I,$ to również $A\in I,$

(iii) jeśli $A,B\in I,$ to $A\cup B\in I.$

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $S\notin I.$

Ideały maksymalne

Ideał właściwy $I$ w porządku częściowym $(P,\leqslant )$ jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym $I$ jest samo $I.$

Przykłady

Ideały w algebrach Boole’a

• Niech ${\mathcal {K}}_{\mathcal {B}}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii. Wówczas ${\mathcal {K}}_{\mathcal {B}}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Niech ${\mathcal {L}}_{\mathcal {B}}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue’a. Wówczas ${\mathcal {L}}_{\mathcal {B}}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że $F$ jest filtrem w algebrze Boole’a $\mathbb {B} .$ Niech $F^{c}=\{\sim a:a\in F\}.$ Wówczas $F^{c}$ jest ideałem w $\mathbb {B} .$ Warto zauważyć, że $F^{c}$ jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy $F$ jest ultrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioru

• Niech $S$ będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina $[S]^{<\omega }$ wszystkich skończonych podzbiorów $S$ jest ideałem podzbiorów $S.$ Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
• Niech $A\subsetneq X.$ Wówczas rodzina $I_{A}$ wszystkich podzbiorów zbioru $A$ jest ideałem podzbiorów $X.$ Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn. typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
• Niech ${\mathcal {K}}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a ${\mathcal {L}}$ będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue’a zero. Wówczas zarówno ${\mathcal {K}},$ jak i ${\mathcal {L}}$ są ideałami podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X.$
• Niech $\kappa$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech ${\mathcal {NS}}_{\kappa }$ będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów $\kappa ,$ których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór $\kappa .$ Rodzina ${\mathcal {NS}}_{\kappa }$ jest ideałem podzbiorów $\kappa$ – zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami $\kappa$.

Dodatkowe pojęcia

• Niech $\kappa$ będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał $I$ podzbiorów zbioru $S$ jest $\kappa$-zupełny, jeśli suma mniej niż $\kappa$ zbiorów z ideału $I$ należy do $I.$
• Ideały $\aleph _{1}$-zupełne na $S$ są nazywane $\sigma$-ideałami podzbiorów $S$. Tak więc $\sigma$-ideał podzbiorów $S,$ to taki ideał $I$ podzbiorów $S,$ który spełnia następujący warunek:

(iii)^σ jeśli $A_{0},A_{1},A_{2},\dots \in I,$ to $\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }A_{n}\in I.$

• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech $I$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru $S,$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:

$\mathrm {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},$

$\mathrm {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=S{\big \}},$

$\mathrm {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge \ A\notin I{\big \}},$

$\mathrm {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.$

Własności i zastosowania

• Każdy właściwy ideał w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
• Jeśli $I$ jest ideałem podzbiorów $S$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to

$\mathrm {add} (I)\leqslant \mathrm {cov} (I)\leqslant \mathrm {cof} (I)$ i $\mathrm {add} (I)\leqslant \mathrm {non} (I)\leqslant \mathrm {cof} (I).$

• Współczynniki kardynalne ideałów ${\mathcal {K}}$ i ${\mathcal {L}}$ były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia.