Podręcznik

W idealnym przypadku fale propagujące nie mogą oddziaływać między sobą, powinny rozchodzić się w wolnej przestrzeni bez żadnych ograniczeń. Przez pojęcie wolnej przestrzeni rozumiemy ośrodek jednorodny. Niestety w rzeczywistości tak nie jest. Istnieje wiele czynników, które mają wpływ na propagację sygnałów. Podczas transmisji mamy do czynienia z odbiciem, załamaniem (refrakcja), ugięciem (dyfrakcja) i nakładaniem się fal (interferencja). Zanim przejdziemy do dalszej części wykładu, warto przypomnieć na czym polegają wymienione powyżej zjawiska.

Rysunek 4 Odbicie fali na granicy dwóch ośrodków.

Rysunek 5 Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków

Proces transmisji sygnału optycznego opisują równania Maxwella. Rozwiązania uzyskuje się numerycznie.

Prawo załamania opisuje zachowanie się promieniowania optycznego przy przechodzeniu przez granicę ośrodków o różnych współczynnikach załamania (n₁ i n₂). Poniższy wzór przedstawia zależność współczynników załamania od promienia padającego ????₁ i odbitego ????₂.

n₁sin????₁ = n₂sin????₂$\qquad$(2.1)

gdzie

n₁ – współczynnik załamania 1 ośrodka

n₂ – współczynnik załamania 2 ośrodka

????₁ – kąt padania wiązki

????₂ – kąt pod którym wiązka jest odbita

Ponadto między współczynnikami załamania zachodzi relacja, że n₁ > n₂.

Rysunek 6 Zachowanie promienia świetlnego na granicy dwóch ośrodków

W zależności od kąta padania ????₁ fala świetlna może zostać załamana (tak jak pokazuje pierwszy przypadek), lub część wiązki może zostać załamana, a pozostała część może zostać odbita lub wiązka może zostać całkowicie odbita i propagować się wzdłuż falowodu. Tylko dla promieni padających pod kątem większym niż kąt graniczny ????_c (trzecia sytuacja na Rys. 6) promieniowanie zostaje całkowicie odbite, co zapewnia małostratną propagację wzdłuż osi rdzenia światłowodu. Po przekształceniu wzoru (2.1) otrzymujemy następującą zależność określającą wartość kąta granicznego.

$\theta_c = arcsin\frac{n_2}{n_1} \qquad$(2.2)

I tylko dla takiego przypadku dochodzi do transmisji sygnału we włóknach światłowodowych.

Światłowody ze względu na ilość prowadzonych modów dzielimy na jednomodowe i wielomodowe. Na poniższym rysunku pokazano strukturę i przekrój poprzeczny typowego światłowodu wielodomowego (o profilu skokowym), wielomodowego (gradientowego) i jednomodowego oraz drogę promieni wewnątrz rdzenia.

Rysunek 7 Światłowód a) wielomodowy, b) wielomodowy – gradientowy i c) jednomodowy – przekrój poprzeczny i droga rozchodzenia się światła

Aby wprowadzić wiązkę świetlną do rdzenia należy światłowód oświetlić od strony czołowej. Promienie padające pod zbyt dużym kątem zostaną wprowadzone do płaszcza i tylko część promieniowania zostanie wprowadzona do rdzenia. Wartość tego kąta określa apertura numeryczna.

Rdzeń (charakteryzuje się wyższym współczynnikiem załamania niż płaszcz) i płaszcz wykonane są z kwarcu. Wartości współczynników załamania standardowo wynoszą n = 1,44,...1,48. Różnica pomiędzy ich wartościami jest niewielka i wynosi około 1%, a uzyskuje się ją przez domieszkowanie. Wśród najczęściej stosowanych domieszek powodujących wzrost współczynnika załamania znajdują się: GeO₂, fosfor, glin, chlor, natomiast domieszkowanie borem czy fluorem powoduje zmniejszenie wartości współczynnika załamania. Domieszkowanie kwarcu GeO₂ (2 mol%) powoduje wzrost współczynnika załamania do wartości 1,461, P₂O₅ (2 mol%) 1,460, natomiast dodanie B₂O₃ (8 mol%) powoduje zmniejszenie wartości współczynnika załamania do wartości 1,458.

Właściwości transmisyjne światłowodu określa jego profil współczynnika załamania. Najczęściej spotykanymi profilami są: profil skokowy i profil gradientowy dla światłowodów wielomodowych (zastosowanie światłowodu o takim profilu powoduje znaczną poprawę transmisji sygnałów), rozkład współczynników załamania przedstawiono na Rys. 7.

Tak jak już wspomniano wcześniej, wyróżniamy dwa typy światłowodów o profilu skokowym: światłowody jednomodowe i wielomodowe. Standardowe wymiary rdzenia światłowodu jednomodowego wynoszą 8,6 – 9,5 m, natomiast wielomodowego 50 m lub 62,5 m. Średnica płaszcza zarówna światłowodów wielomodowych, jaki jednomodowych wynosi 125 m.

Rysunek 8 Światłowód

W światłowodzie o profilu skokowym wartość współczynnika załamania rdzenia n₁ maleje skokowo do wartości n₂ w płaszczu. Promieniowanie propagowane jest wzdłuż światłowodu w formie modów. Każdy mod charakteryzuje się innym przestrzennym rozkładem pola EM, innymi wartościami: stałej propagacji, prędkości grupowej i fazowej oraz różną polaryzacją i tłumieniem.

Jeżeli przyjmiemy, że fala elektromagnetyczna o pulsacji  jest monochromatyczna i rozchodzi się w ośrodku bezstratnym (ogólniej: małostratnym, a takim jest światłowód) w kierunku osi z to określony mod w światłowodzie, opisuje się zależnością:

$E(t,z) = A_E~exp[j(\omega t-\beta z)] \qquad$ (2.3)

gdzie

$A_E$ – amplituda

$\beta$ – stała fazowa [rad/metr]

$\omega$ – pulsacja fali [1/s]

z – współrzędna położenia [m]

t – czas [s]

Ponadto dla płaszczyzny stałej fazy spełniony jest warunek:

$\omega t - \beta z = 2 \pi f t - \frac{2\pi}{\lambda_{mod}} z = const. \qquad$(2.4)

gdzie

$\lambda_{mod}$ – długość fali danego modu w określonym ośrodku [m]

f – częstotliwość fali [Hz=1/s]

a prędkość poruszania się płaszczyzny stałej fazy nazywana prędkością fazową zdefiniowana jest następująco:

$v_f = \frac{\omega}{\beta}= f \lambda_{mod} \qquad$(2.5)

Fala propagująca się w ośrodku (na przykład w szkle) ma różne częstotliwości, a co za tym idzie różne prędkości fazowe. Zjawisko to nosi nazwę dyspersji i zostanie omówione w dalszej części wykładu. Warto wspomnieć, że prędkość fazowa może być większa niż prędkość światła (np. dla promieniowania X-ray), natomiast dla materiałów o ujemnym współczynniku załamania (np. metamateriały) jest wartością ujemną.

W wolnej przestrzeni wypełnionej dielektrykiem fala rozchodzi się wolniej niż wynosi prędkość światła w próżni, stopień spowolnienia fali pozwala określić współczynnik załamania ośrodka:

$n = \frac{c}{v_f} \qquad$(2.6)

Z powyższego wynika, że współczynnik załamania światła w próżni wynosi jeden.

Wartość prędkości fazowej zależy od ośrodka, modu i częstotliwości. Nie określa ona szybkości rozprzestrzenia się fali, gdyż prędkość propagacji informacji/energii reprezentuje prędkość grupowa. Obliczamy ją jako prędkość transmisji obwiedni modulacji amplitudy sygnału optycznego. Rozważymy przypadek dwóch fal sinusoidalnych, których amplitudy są takie same a częstotliwości i długości zbliżone.

$f_1(x) = A~sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta + \delta\beta)x] \qquad$(2.7)

$f_2(x) = A~sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta - \delta\beta)x] \qquad$(2.8)

Wyznaczamy teraz ich sumę

$f_1(x) + f_2(x)= A \{ sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta + \delta\beta)x] + sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta - \delta\beta)x] \} \qquad$(2.9)

po przekształceniu otrzymujemy

$f_1(x) + f_2(x) = 2A~cos[(\delta\omega)t - (\delta\beta)]cos(\omega t - \beta x) \qquad$(2.10)

Funkcja sumaryczna składa się z dwóch członów. Funkcji $2cos(\omega t - \beta x)$i funkcji modulującej $A~cos[(\delta\omega) t - (\delta\beta) x]$.

$(\delta\omega) t - (\delta\beta) x = const. \qquad$(2.11)

Różniczkując po czasie otrzymujemy:

$\frac{\delta(\delta\omega)t}{\delta t} - \frac{\delta(\delta\beta)x}{\delta t} = 0 \qquad$(2.12)

$\delta\omega = \delta\beta \frac{\delta x}{\delta t}\qquad$(2.13)

$\frac{\delta\omega}{\delta \beta} = \frac{\delta x}{\delta t} = v_g \qquad$(2.14)

Płaszczyzna stałej fazy obwiedni modulacji porusza się z prędkością grupową v_g :

$v_g = \frac{1}{\dot \beta} = \frac{\delta\omega}{\delta\beta} \qquad$(2.15)

Zależność () określa prędkość fazową i grupową, różną dla różnych modów i prowadnic.

Rysunek 9 Metoda określenia prędkości fazowej i grupowej z charakterystyki ().

W światłowodzie propagują się cztery rodzaje modów TM, TE, HE i EH (hybrydowe). Zależność opisującą natężenie pola elektrycznego przedstawia następujący wzór:

$E(r, \phi, z, t) = f(r) cos (\omega t - \beta z - \theta) cos (q \phi) \qquad$(2.16)

gdzie wartości f(r), $\beta$ i q znajduje się dla poszczególnych modów rozwiązując równanie falowe.

Bardzo użytecznym jest wprowadzenie parametru V, zwanego częstotliwością znormalizowaną, a określonego przez następującą zależność:

$V = \frac{2\pi\alpha}{\lambda_0} \sqrt{n^2_1 - n^2_2} \cong \frac{2\pi\alpha}{\lambda_0} n_1 \sqrt{2\Delta} \qquad$(2.17)

gdzie

a – promień rdzenia światłowodu [m];

$\Delta = \frac{n_1-n_2}{n_1}$. W stosowanych włóknach telekomunikacyjnych wynosi od 0,001 do 0,02.

Na poniższym wykresie pokazano, jak ze wzrostem częstotliwości znormalizowanej wzbudzają się kolejne mody w światłowodzie.

Rysunek 10 Charakterystyka znormalizowanej stałej fazowej w funkcji częstotliwości znormalizowanej dla modów niższego rzędu.

Dla V >> 1 liczba modów jest duża, dla profilu skokowego w przybliżeniu można zapisać to następującą zależnością:

$M \cong \frac{V^2}{2} \qquad$(2.18)

Dla V < 2,405 w światłowodzie wzbudza się tylko jeden mod podstawowy HE₁₁ o częstotliwości granicznej równej 0.

Rysunek 11 Liczba modów w zależności od parametru V.

Reasumując powyższe rozważania widać, że liczba modów światłowodowych zależy od następujących parametrów:

• wartości promienia rdzenia;
• wartości współczynników załamania płaszcza i rdzenia;
• długości propagowanej fali świetlnej.

Warto pamiętać, że w zakupionym włóknie jednomodowym będzie się propagował jeden mod, pod warunkiem wprowadzenia światła o odpowiedniej długości fali.

Każdy z modów ma inną prędkość fazową i grupową, co prowadzi do rozmywania się impulsów. W układach transmisyjnych odpowiedzią na ten problem jest stosowanie światłowodów wielomodowych o profilu gradientowym czy najlepiej światłowodów jednomodowych (SMF – Single-Mode Fiber). Zmniejszenie średnicy rdzenia prowadzi prosto do redukcji liczby modów. Obecnie stosuje się w telekomunikacji włókna jednomodowe o średnicy rdzenia równej 9 $\mu m$. Żeby zmniejszyć liczbę modów w światłowodach wielomodowych (MMF – Multi-Mode Fiber) przy zachowaniu średnicy rdzenia opracowano światłowód gradientowy (Rysunek 7), w którym współczynnik załamania zmienia się stopniowo od wartość n₁ maksymalnej na osi do wartości n₂ na granicy płaszcza. Natomiast współczynnik $\Delta$ jest zwykle mały i wynosi $\Delta$ << 1. Najlepsze rezultaty uzyskuje się w przypadku, gdy profil zmian współczynnika załamania jest w przybliżeniu paraboliczny. W tym przypadku liczba modów jest dwukrotnie mniejsza, niż dla omówionego wcześniej światłowodu wielomodowego o profilu skokowym i wynosi:

$M \cong \frac{V^2}{4} \qquad$(2.19)

Poniżej zamieszczono zadania do samodzielnego rozwiązania