Definicja szeregu liczbowego

Definicja 1: Szereg liczbowy

Niech \( (a_n) \) , dla \( n \in \mathbb{N}_+ \) będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym o wyrazach \( a_n \) nazywamy uporządkowaną parę ciągów \( ( (a_n ),(S_n ) ) \) , gdzie wyrazy ciągu \( S_n \) określone są jako \( S_n=a_1+a_2+⋯+a_n \) i nazywane \( n \)-tymi sumami częściowymi szeregu.

Komentarz
Zauważamy, że w szeregu \( ( (a_n ),(S_n ) ) \) wyrazy ciągu sum częściowych \( (S_n) \) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu \( (a_n) \). Również wyrazy ciągu \( (a_n) \) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu \( (S_n) \) wzorem rekurencyjnym

\( \begin{cases} a_1=S_1 \\ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n \end{cases} \)

Możemy zatem podawać postać tylko jednego z tych ciągów, aby jednoznacznie określić postać szeregu \( ( (a_n ),(S_n ) ) \).

Uwaga 1: Oznaczenie szergu

Szereg \( ( (a_n ),(S_n ) ) \) oznaczamy symbolicznie używając symbolu sumy, jako \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \).

Definicja 2: Szereg zbieżny

Mówimy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest zbieżny do sumy \( S \), jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum częściowych \( (S_n) \) szeregu równa \( S \) tzn. \( \lim\limits_{n \to \infty}⁡S_n =S \). Mówimy wtedy, że liczba \( S \) jest sumą szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \).

Uwaga 2: Oznaczenie sumy szeregu zbieżnego

Sumę szeregu zbieżnego oznaczamy jako \( S=a_1+a_2+\cdots +a_n+ \cdots \) lub \( S= \sum_{n=1}^{\infty}a_n \).

Definicja 3: Szereg rozbieżny do \( + \infty \) albo do \( - \infty \)

Jeżeli ciąg sum częściowych \( (S_n) \) szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) ma granicę niewłaściwą \( + \infty \), albo \( - \infty \) to mówimy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest rozbieżny do \( + \infty \), albo do \( - \infty \).

Definicja 4: Szereg rozbieżny

Jeżeli ciąg sum częściowych \( (S_n) \) szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) nie ma granicy, to mówimy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest rozbieżny.

Definicja 5: Reszta szeregu

Jeżeli przez \( R_{mn} \), dla \( m \lt n \) oznaczymy różnicę \( n \)-tej i \( (m-1) \)-szej sumy częściowej szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) , tzn. \( R_{mn}=S_n-S_{m-1} \), to \( m \)-tą reszta szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) nazywamy liczbę \( R_m=\lim\limits_{n \to \infty} ⁡R_{mn } \).

Komentarz
Zauważmy, że \( R_{mn}=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n \) i jeżeli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest zbieżny do sumy \( S \), to \( m \)-tą resztę szeregu możemy wyrazić wzorem \( R_m=S-S_{m-1} \).

Twierdzenie 1: WKW zbieżności szeregu

Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest zbieżny do sumy \( S \) wtedy i tylko wtedy gdy ciąg reszt szeregu jest zbieżny do liczby \( 0 \), tzn. \( \lim\limits_{m \to \infty}⁡R_m=0 \).

Wniosek 1:

Na zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) nie ma wpływu pierwsze skończenie wiele wyrazów tego szeregu, tzn. jeżeli szereg \( \sum_{n=m}^{\infty}a_n \) jest zbieżny dla pewnego \( m \in \mathbb{N} \), to szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest zbieżny, jednakże usunięcie skończonej liczby wyrazów szeregu może mieć wpływ na wartość jego sumy.

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \ln⁡(1+\frac{1}{n}) \).

Rozwiązanie:

Obliczamy ciąg sum częściowych
\( \begin{array}{rcl}S_n &=& \ln⁡(1+\frac{1}{1})+\ln(1+\frac{1}{2})+ \cdots +\ln⁡(1+\frac{1}{n-1})+\ln⁡(1+\frac{1}{n})= \ln ⁡2+\ln⁡ \frac{3}{2}+ \cdots +\ln⁡ \frac{n}{n-1}+\ln⁡ \frac{n+1}{n} \\ &=& \ln⁡ 2+\ln ⁡3-\ln ⁡2+ \cdots +\ln ⁡n - \ln⁡ (n-1)+\ln ⁡(n+1) - \ln n=\ln⁡(n+1). \end{array} \)
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych

\( \lim\limits_{n \to \infty}⁡S_n =\lim\limits_{n \to \infty} ⁡\ln⁡(n+1) = \infty . \)

Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \ln⁡(1+\frac{1}{n}) \) jest rozbieżny do \( \infty \).

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt [2n+1]{2}-\sqrt[2n-1]{2}) \).

Rozwiązanie:

Obliczamy sumy częściowe
\( S_n=\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[5]{2}-\sqrt[3]{2}+ \cdots +\sqrt[2n+1]{2}-\sqrt[2n-1]{2}=\sqrt[2n+1]{2}-2. \)
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych

\( \lim\limits_{n \to \infty}⁡S_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{2}-2=-1. \)

Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt [2n+1]{2}-\sqrt[2n-1]{2}) \) jest zbieżny do sumy \( -1 \).

Przykład 3:

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)} \).

Rozwiązanie:

Do obliczania sum częściowych szeregu korzystamy ze wzoru \( \frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \), dla \( n=0,1,2, \ldots \) czyli
\( S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{n(n+1)} +\frac{1}{(n+1)(n+2)} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}. \)
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych

\( \lim\limits_{n \to \infty}⁡S_n = \lim\limits_{n \to \infty}⁡(1-\frac{1}{n+2})=1. \)

Zatem szereg \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)} \) jest zbieżnydo sumy \( S=1 \).

Przykład 4:

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } \).

Rozwiązanie:

Ciąg sum częściowych ma postać \( S_n= \frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{n-1}}+\frac{1}{\sqrt{n}} \).
Do obliczenia granicy ciągu sum częściowych skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach

\( \frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{n-1}}+\frac{1}{\sqrt{n}} \geq n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n} \)

Ponieważ granica ciągu o wyrazach mniejszych jest niewłaściwa \( \lim\limits_{n \to \infty}⁡ \sqrt{n}= \infty \), to granica ciągu sum częściowych też jest niewłaściwa \( \lim\limits_{n \to \infty}⁡⁡ S_n = \infty \).
Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } \) jest rozbieżny do \( \infty \).

Przykład 5:

Wykaż, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot 10^{-n} \), gdzie \( c_n \in [0,1] \) jest zbieżny do pewnej liczby \( S \in [0,1] \).

Rozwiązanie:

Obliczamy ciąg sum częściowych \( S_n=c_1 \cdot 0,1+c_2 \cdot 0,01+ \cdots +c_n \cdot 10^{-n} \).
Ponieważ każda liczba \( 0 \leq c_n \leq 1 \), to dla każdego \( n \) mamy ograniczenia

\( 0 \leq S_n \leq 0,1+0,01+ \cdots +10^{-n}=0,1 \cdot \frac{1-(0,1)^n}{0,9} \lt 1. \)

Zauważamy, że ciąg \( (S_n) \) jest niemalejący, czyli korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wiemy, że jest on ciągiem zbieżnym i jego granica mieści się w przedziale \( [0,1] \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka